martes, 20 de octubre de 2009

movimiento parabolico

Tiro parabolico

visto dos tipos de movimientos: los uniformes que son aquellos que no poseen aceleración, es decir, que su velocidad se mantiene constante a lo largo de todo el movimiento; y los acelerados aquellos cuya velocidad variaba en función del tiempo y vimos que un caso particular de estos es la caída libre.

Bien, estos dos tipos de movimiento se pueden combinar entre sí dando lugar a otros "híbridos". El movimiento final lo podemos descomponer en sus movimientos "inciales" que le dieron lugar. Aquí les presento uno de ellos:
el tiro parabólico.

El primer científico en el estudio de este tipo de movimiento fue Galileo (sí, aquel que se dedicaba a tirar piedrecitas). Abajo parece sus anotaciones de hace 500 años




¿EN QUÉ CONSISTE?

El tiro parabólico es la combinación de un movimiento rectilíneo y otro uniformemente variado perpendiculares entre sí. Todos lo hemos visto más de una vez al lanzar una pelota, al ver un chorro de agua inclinado, a ver cómo sale despedida una bola de un plano inclinado, al ver la trayectoria de una flecha... y hemos usado su física cuando hemos querido acertar con una pedrada o, un poquito más escatológico, al librarnos de los moquejos con el dedo


El dibujo de abajo lo deja claro. En la dirección horizontal tenemos un movimiento uniforme (su velocidad no varía con el tiempo) mientras que en la vertical el movimiento que está influenciado por la gravedad. La velocidad de la pelota se calcula a través del Teorema de Pitágoras por ser las dos componentes de la velocidad perpendiculares entre sí. Un punto singular de este movimiento es el de mayor altura pues es allí donde se anula la velocidad vertical, mientras que sigue trasladándose debido a que la velocidad horizontal permanece invariable.



Supongamos ahora que queremos encestar una canasta en un partido de baloncesto. En juego entran factores:

· La velocidad con que lancemos el objeto. Cuanto más rápido lo lancemos, más alcance se obtendrá, claro.

· La inclinación. A mayor inclinación el alcance es menor, y al revés, cuanto más raso tiremos la piedra, más lejos llegará. La figura siguiente lo aclara.



La máxima altura y el máximo alcance se consiguen a los 45º.

EL CONEJO SUICIDA.
Un problemilla. Aquí tenemos a un conejo suicida. Cuando sierre las cuerdas ¿qué le ocurrirá?


a)

Sa se estrepitosamente arrojado hacia lo desconocido haciendo una movimiento parabolico

· b) Es arrojado contra el suelo y salpica sangre hacia las palmeras

· c) Está tan amarrado a las cuerdas que al abrirse las palmeras las cuerdas se estiran y es partido en dos. También mucha sangre

· d) Al cortar la cuerda, de acuerdo con las leyes de la inercia los brazos del conejo quedan junto al serrucho mientras el resto del cuerpo sale volando por los aires

Movimiento parabólico:
Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.
Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Tipos de movimiento parabólico:

Movimiento de media parábola:

El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal)
se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre.

El movimiento parabólico completo:

se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:
1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

Movimiento Parabólico

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.

Nótese que estamos solamente tratando el caso partícular en que factores como la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, etc., no introducen afectaciones apreciables. Vamos a considerar también que durante todo el recorrido la aceleración debido a la gravedad ( g ) permanece constante y que el movimiento es sólo de traslación.

Para facilitar el estudio del movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y consecuente, la aceleración también lo es. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante.







Sea un proyectil lanzado desde un cañón. Si elegimos un sistema de referencia de modo que la dirección Y sea vertical y positiva hacia arriba, a y = - g y a x = 0. Además suponga que el instante t = 0, el proyectil deja de origen (X i = Y i = 0) con una velocidad Vi.

Si Vi hace un ángulo qi con la horizontal, a partir de las definiciones de las funciones sen y cos se obtiene:

Vxi = Vi cos θ

Vyi = Vi sen θi

Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde ax = 0 y ay = -g, o sea con aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:

X = Vxit = Vi cos θi t

y = Vyi t + ½ at2

Vyf = Vyi + at

2ay = Vyf2 - Vyi2

Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico.



Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:

X = Vxi t

y = yo - ½ gt2

Recomendamos la realización de la práctica virtual Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad, donde se puede estudiar tanto el movimiento parabólico como el semi-parabólico.

Combinando las ecuaciones arriba explicadas para el movimiento parabólico podemos algunas obtener ecuaciones útiles:

- Altura máxima que alcanza un proyectil:

- Tiempo de vuelo del proyectil:

- Alcance del proyectil :

Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad dada el máximo alcance se logra con una inclinacion de 45o respecto a la horizontal.



El Movimiento rectilíneo y uniforme

El movimiento rectilíneo y uniforme se caracteriza por tener una trayectoria recta (de ahí lo de "rectilíneo") y una velocidad constante ("uniforme"). Se trata del movimiento más sencillo que se puede describir y es por ello que es el primero que se estudia en los cursos más elementales de Física. Veámoslo con el siguiente dibujo. La moto parte del instante inicial (t=0s) con una velocidad de 10m/s que mantiene constante a lo largo de todo el movimiento. Que lleve una velocidad de 10m/s quiere decir que en cada segundo recorre 10m; así en 2s habrá recorrido 20m, en 3s serán 30m, etc.

Movimiento parabólico

Como su nombre lo indica, es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una parábola. Proviene generalmente de dos movimiento simples (M.R.U.y M.R.U.V.). Una aplicación directa de este movimiento es el problema del tiro.

El Movimiento rectilíneo y uniforme

El movimiento rectilíneo y uniforme se caracteriza por tener una trayectoria recta (de ahí lo de "rectilíneo") y una velocidad constante ("uniforme"). Se trata del movimiento más sencillo que se puede describir y es por ello que es el primero que se estudia en los cursos más elementales de Física. Veámoslo con el siguiente dibujo.

La moto parte del instante inicial (t=0s) con una velocidad de 10m/s que mantiene constante a lo largo de todo el movimiento. Que lleve una velocidad de 10m/s quiere decir que en cada segundo recorre 10m; así en 2s habrá recorrido 20m, en 3s serán 30m, e



Vemos, por tanto, que hay una proporción que se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esa proporición es la velocidad pues marca el espacio que recorre el motorista en función del tiempo que recorre. Matemáticamente, esto se puede expresar como sigue.
velocidad = espacio / tiempo
Si el espacio lo medimos en metros (m) y el tiempo en segundos (s), obtendremos la velocidad en metros por segundo (m/s), como le ocurría a la moto. El hecho de que la velocidad no varíe con el tiempo hace que al doble de tiempo se recorra el doble de espacio; que al triple de tiempo, triple de espacio y así sucesivamente. Por ello, al representar el tiempo (en el eje horizontal) y el espacio (en el vertical) en un gráfico obtenemos una recta cuya mayor o menor inclinación da una idea de la velocidad.


La aceleración y el movimiento uniformemente acelerado.

¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?
La aceleración es el ritmo de variación de la velocidad. Esto es, establece cuánto varía la velocidad en la unidad de tiempo. Veámoslo con un dibujito. Supongamos que nos subimos en una moto y arrancamos. Al segundo, el velocímetro nos marca un valor de 10m/s, a los 2 segundos marca 20m/s, a los 30s son ya los 30m/s… ¿En qué ritmo está variando la velocidad?


Del dibujo anterior es fácil darse cuenta que por cada segundo que transcurre, el velocímetro marca 10m/s más. Por tanto, la aceleración que sufre la moto será: Aceleración = variación de la velocidad / tiempo empleado. es decir: a = 10m/s : 1 s = 10 m/s2. Sin entrar demasiado en las matemáticas, diremos que de las propiedades de las potencias se deduce que la aceleración se mide en m/s2 (metros por segundo cuadrado), esto es, que “la velocidad varía tantos metros por segundo en un segundo”. Si representamos gráficamente la velocidad frente al tiempo, obtenemos una recta que lleva por ecuación:Pulsa encima para añadirlo al artículo (math-110.png) , donde Vo = velocidad inicial, a = aceleración, t = tiempo y V = velocidad en el instante estudiado. En el caso de acelerar, la recta es creciente (ascendente).


¿Y EN EL CASO DE FRENAR?

En el caso de frenar, la velocidad desciende en valor lo que se traduce en un ritmo negativo, esto es, una aceleración es negativa. Su significado físico es exactamente el mismo que antes: “la velocidad disminuye tantos metros por segundo en un segundo”. La gráfica en este caso es una recta descendiente (descendiente), pues la aceleración es negativa.


EL ESPACIO QUE RECORRE. El espacio que recorre un cuerpo mientras acelera o frena no se mantiene constante ni proporcional, sino que varía. Esa variación está en función del cuadrado del tiempo. La ecuación es:Pulsa encima para añadirlo al artículo (math-710.png) , donde X = espacio en el instante de estudio y Xo = espacio inicial. Gráficamente se obtiene una parábola, que se trata de un tipo de curva importantísima en las Matemáticas y en la Física.


La caída libre de los cuerpos

Por todos es conocido que cuando dejamos libre un cuerpo a una cierta altura, pro lo general, tiende a caer. Digo por lo general, porque si en vez de tomar una bola de hierro, tomamos un globo de helio tenderá a ascender (pero eso ya lo explicaremos otro día

Uno de los estudiosos que más esfuerzos dedicó al tema de la caída de los cuerpos gue Galileo Galilei (1564-1642) en su Pisa natal allá entre los siglos XVI y XVII. Como curiosidad, mencionaré que el cronómetro usado entonces era el propio reloj de arena o bien la cantidad de gotas que caían de forma regular a un vaso procedente de un tonel
.


EL FENÓMENO EN SÍ: El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, esto es, la velocidad varía de forma proporcional con el tiempo, a un ritmo constante, debido a la presencia de la gravedad. Como la gravedad es 10m/s2 (¡ya lo sé que se toma 9,8m/s2!, pero vamos a apañarnos con 10 que es más fácil), quiere decir, que la velocidad de un cuerpo aumenta o disminuye 10m/s en cada segundo. Este dibujito te lo va a dejar muy claro:



El espacio que recorre el pedrusco lo hace, en cambio, a ritmo parabólico, [esto es, que depende del cuadrado del tiempo] de forma mucho más rápida. En el dibujito de antes, vemos cómo el espacio que recorre la piedra aumenta según el tiempo. Para caídas desde alturas pequeñas, la gravedad hará que un elefante y un mosquito llegen al suelo arrojados desde una misma altura, debido a inexistencia de aire que provoque rozamiento y, por tanto, el retardo de uno de ellos.


También en el vacío, la velocidad y el tiempo de caída de un cuerpo es independiente de su masa:

Como hemos dicho, la aceleración de la gravedad interviene en la rapidez del movimiento. En la Luna, al ser ahí la gravedad menor (1,8m/s2) el movimiento de caída libre es "relentizado" y, al no haber atmósfera, el rozamiento es nulo y los cuerpos tardan el mismo tiempo en caer.

Gráficamente, los cambios en la velocidad y el espacio recorrido son:

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